Laczkovich Miklós

Mi a matematika? - A matematikai igazságról

II. Három klasszikus geometriai probléma

A mai értelemben vett matematikával az ókori görögök kezdtek foglalkozni az i. e. 6. században (Thalész és Püthagorász). A matematikának azt a formáját, ahogy ma is ismerjük és műveljük, az i. e. 5. században alakították ki. (A matematika egyik büszkesége, hogy 2500 éves folyamatos múltra tekint vissza. Ez bizonyos értelemben igaz lehet a csillagászatra, orvostudományra vagy a zeneelméletre is. De ebben a tekintetben a matematika egyedisége az, hogy kumulatív tudomány: a későbbi felfedezések nem csorbítják a korábbiak érvényét; legfeljebb hozzátesznek, vagy új megvilágításba helyezik azokat. A klasszikus görögség matematikai teljesítménye ma éppolyan értékes és csodálatra méltó, mint 2500 évvel ezelőtt volt.) Ebben az időben fogalmazták meg a három klasszikus geometriai problémát, amelyek sok évszázadon át lázban tartották a matematikusokat. Mind a három probléma a geometriai szerkeszthetőségre vonatkozott. Itt egy alakzat szerkeszthetőségén azt értjük, ha az körző és (jelöletlen) egyenes vonalzó segítségével véges számú lépésben előállítható. Az animáción példaként a szabályos ötszög szerkesztésének lépéseit mutatjuk be.

Animáció: Szabályos ötszög szerkesztése körző és vonalzó segítségével

Az első probléma a kör négyszögesítése volt. A kérdés az volt, hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos területű négyzetet szerkeszteni. Ezzel ekvivalens kérdés, hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos hosszúságú szakaszt szerkeszteni. (Az ekvivalencia itt azt jelenti, hogy ha ismerünk valamelyikre egy megoldást, abból egyszerűen kaphatunk megoldást a másikra.) A kérdés az i. e. 5. század második felében olyan népszerű volt, hogy Arisztophanész a Madarakban (i. e. 414) már gúnyolódik a körnégyszögesítőkön. A probléma mindig is a köztudatban maradt. Még Thomas Mann Varázshegyében is van egy szereplő (Paravant államügyész), aki megszállottan keresi a megoldást.

Hippiász már az i. e. 5. században felfedezte a quadratrix nevű görbét (lásd az animációt) egy megoldási kísérlet gyanánt. Ez persze nem "szabályos" megoldás, tehát nem megoldás a probléma eredeti követelményei szerint, és ezzel maga Hippiász is tisztában volt.

Animáció: A quadratrix előállítása

2. ábra

A második klasszikus geometriai probléma a szögharmadolás kérdése: lehetséges-e egy adott szög egyharmadát megszerkeszteni? A quadratrix erre is megoldás (animáció). Már Arkhimédész tudta, hogy a szögharmadolás az ún. "betoló vonalzóval" elvégezhető (2. ábra). Persze egyik megoldás sem szabályos.

Animáció: Szögharmadolás quadratrix segítségével

A harmadik klasszikus geometriai probléma az ún. déloszi probléma vagy kockakettőzés: olyan kockát kell szerkeszteni, amely kétszer akkora térfogatú mint egy adott kocka. (Egy ókori legenda szerint a délosziak azt a jóslatot kapták, hogy csak akkor háríthatják el a pestisjárványt, ha Apollón templomában a kocka alakú oltár helyett kétszer akkorát állítanak.) A kockakettőzés is megoldható betoló vonalzóval. Még számtalan más (nem szabályos) megoldást találtak az évszázadok során, de szabályosat egyet sem.

3. ábra

³³

lehetetlenilyen szerkesztés nem létezik

Mark Kac és Stanislaw Ulam ezt írják erről Matematika és logika című könyvükben: "A matematikai gondolkodásmód sajátos és egyedi jellege leginkább a lehetetlenségi bizonyításokban mutatkozik meg. Amikor kijelentjük, hogy a kockakettőzés (azaz szerkesztése körzővel és vonalzóval) lehetetlen, akkor ez az állítás nem a képességeink vagy lehetőségeink átmeneti korlátozottságára utal. Ennél sokkal többet állít; azt mondja, hogy soha senki, semmilyen körülmények között sem lesz képes a -t megszerkeszteni vagy egy általános szöget harmadolni, ha csupán körző és vonalzó áll a rendelkezésére. Semmilyen más tudomány, sőt az emberi törekvések egyetlen más területe sem álmodozhat ilyen visszavonhatatlan véglegességről."

4. ábra

azaz nem gyöke semmilyen egész együtthatós egyenletnek sem