Laczkovich Miklós

Mi a matematika? - A matematikai igazságról

VII. Gödel tétele, avagy tudomány vagy művészet a matematika?

De vajon megoldható-e minden matematikai probléma? Itt két kérdéssel kell szembenéznünk. Az egyik (praktikus) kérdés az, hogy egy probléma megoldása olyan bonyolult és olyan hosszú lehet, hogy soha nem fogunk rátalálni. A csoportelmélet egy régi problémája volt az ún. véges egyszerű csoportok osztályozása. Ezt a problémát nemrégiben megoldották: a megoldás leírva több mint 1000 oldal. Fermat híres sejtését Andrew Wiles 1994-ben megoldotta (ezzel részletesebben foglalkozik Rónyai Lajos előadásában). A megoldása leírva 200 oldal, de ha hozzávesszük a teljes elméletet a szükséges előzetes tudnivalókkal együtt, ennek a sokszorosát kapjuk. Ugyanez érvényes a Poincaré-sejtés Perelmann-féle megoldására. Ezek a számok egy bölcsész számára talán nem tűnnek elrettentőnek, de gondoljunk bele, hogy a matematikai szövegek nagyon tömörek; minden képlet, minden sor akár órákig tartó meggondolást igényelhet. Egy 20 oldalas dolgozat már kényelmetlenül hosszúnak számít. Riemann korszakalkotó dolgozata, amely a Riemann-sejtést is tartalmazza 7 oldalnyi.

Korántsem elképzelhetetlen, hogy egy probléma legrövidebb megoldása is hosszabb lehet, mint amit egy emberélet alatt meg lehetne találni. És hiába kollektív tudomány a matematika, hiába használhatjuk fel az elődeink eredményeit, végül is könnyen lehet, hogy az emberiség életkora is véges, és így sosem találunk meg egy olyan megoldást, amelynek a megértése (a felfedezése meg különösen) még ennél is hosszabb időt venne igénybe. Ez olyan lehetőség, amelyen nem tudunk segíteni, tehát bele kell nyugodnunk.

11. ábra

"Wir müssen wissen, wir werden wissen"

12. ábra

A számelméletben még nem találkoztunk olyan kérdésekkel, amelyekről bebizonyosodott volna, hogy eldönthetetlenek. Gödel bebizonyította, hogy ilyen kérdések vannak, sőt a bizonyításában konstruált is ilyen állításokat. Ezek azonban bonyolult, technikai jellegű állítások, és nem a számok relatíve egyszerű tulajdonságait firtató, áttekinthetően megfogalmazott kérdések, mint amilyen például a végtelen sok tökéletes szám létezésére vonatkozó probléma. De nem kételkedhetünk abban, hogy ilyen problémák is lehetnek eldönthetetlenek.

De vajon olyan nagy baj ez? Mit jelentett volna, ha Hilbert álma igaznak bizonyul? Azt, hogy a matematikai állítások eldöntése algoritmikusan megoldható. Más szóval, hogy kész recept, automatikus eljárás létezne minden probléma eldöntésére, és hogy ezt végső soron egy komputer, egy gép is el tudja végezni. Gödel megmutatta, hogy nem ez a helyzet, vagyis az ember leleményessége és intuíciója nem nélkülözhető a matematikai kutatásokban. Végül is Gödel csak azt bizonyította, amit minden matematikus amúgy is tudott, vagyis hogy a matematika nemcsak tudomány, hanem művészet is.