Laczkovich Miklós

Mi a matematika? - A matematikai igazságról

VI. Az Első Számú Megoldatlan Probléma: a Riemann-sejtés

9. ábra

A matematikusok világának több évtizedre volt szüksége, hogy Riemannt utolérje. Sokan vetették rá magukat a Riemann által vázolt programra. A prímszámtétel a 19. század végén a leghíresebb matematikai probléma lett, és mindenki tudta, hogy aki a prímszámtételt bebizonyítja, az halhatatlan lesz. Végül is két francia matematikus, Jacques Hadamard és de la Vallée Poussin egyszerre ért célba, egymástól függetlenül. A dolgozataikat 1896-ban publikálták, és ezzel a prímszámtétel sejtésből bizonyossággá vált. (Hadamard és de la Vallée Poussin neve ezzel csakugyan halhatatlanná vált. Ők maguk hosszú életet kaptak: Hadamard 98, de la Vallée Poussin pedig 96 évesen hunyt el.)

10. ábra

xxxxxxxx

Riemann az 1859-ben írt dolgozatában megfogalmazott egy komplex függvénytani sejtést. Ebből a sejtésből, kombinálva azt a (x)-re adott formulával, levezethető, hogy Li(x) a fent leírt pontossággal közelíti meg (x)-et. Később belátták, hogy a közelítésre vonatkozó állításból következik Riemann sejtése. A sejtés tehát azzal ekvivalens, hogy (x) és Li(x) relatív hibája csak szemernyivel lehet nagyobb, mint . Hogy egészen precízek legyünk: minden >0 számra igaz, hogy
,
ha x elég nagy. Ez a híres Riemann-sejtés. A sejtést Hilbert természetesen bevette a 23 legfontosabb probléma közé. De valójában olyan fontosnak tartotta, hogy egyszer, amikor megkérdezték, hogy ha halála után 100 évvel feltámadhatna, akkor mi lenne az első kérdése, így válaszolt: az, hogy megoldották-e a Riemann-sejtést. A közmegegyezés szerint ma is ezt tartják az Első Számú Megoldatlan Problémának a matematikában. 2000 májusában a Clay Mathematical Institute közzétett hét megoldatlan problémát, amelyeket egy vezető matematikusokból álló grémium a 21. század legfontosabb megoldásra váró kérdéseinek ítélt. A problémák bármelyikének megoldásáért a Clay Intézet egymillió dollárt ítél oda. A Riemann-sejtés természetesen köztük van. (Az érdeklődők figyelmébe ajánlom a "millenniumi problémák" honlapját.)

A problémák közül az ún. Birch-Swinnerton-Dyer-sejtésről már hallottunk Rónyai Lajos előadásában. Idei hír, hogy az egyik problémát, az ún. Poincaré-sejtést megoldották. A megoldásban Perelmann orosz matematikus vállalt oroszlánrészt, akinek az idén augusztusban tartott Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa ezért odaítélte a Fields-érmet (amelyet néha matematikai Nobel-díjként is emlegetnek, bár attól több tekintetben különbözik: a Fields-érmet négy évenként ítéli oda a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa, és csak 40 évnél fiatalabb matematikusok nyerhetik el).