Az Arsenaltól a prímszámok zenéjéig

A matematika nagykövete a fociban hisz, de a prímszámokról ír olvasmányos könyvet, és nem mellesleg kifejti, hogy mi köze a Galaxis útikalauz 42-jének a Zéta-függvényhez. Marcus du Sautoy-jal beszélgettünk.

Marcus du Sautoy szuggesztív figura. Ahogy lángoló tekintettel, hevesen gesztikulál a színpadon, leginkább illuzionistának hihetnénk, aki épp most készül eltüntetni a Lánchidat. A közönség megbabonázva hallgatja. Pedig hidak vagy kanalak helyett prímszámokkal és szimmetriacsoportokkal bűvészkedik - csupa olyasmivel, amit bajosan illeszthetnénk be a szórakoztatóipar hagyományos keretei közé.

Marcus du Sautoy éppolyan lelkesen magyaráz a fociról, mint a Riemann-hipotézisről Forrás: Farkas Péter [origo]

Persze nem is kell. A 47 éves, londoni születésű matematikus 2008 óta a tudományos ismeretterjesztésért 1995-ben létrehozott Simonyi Károly professzori ösztöndíj tulajdonosa az Oxfordi Egyetemen, mégpedig nem más, mint a híres evolúcióbiológus, Richard Dawkins utódjaként. Holott gyerekként még arról ábrándozott, hogy titkos ügynök lesz, ezért belevetette magát a nyelvtanulásba, csak a természetes nyelvek rendszerében hamar zavaróan soknak kezdte érezni a logikátlan kivételeket. Így jutott el a matematikáig. A tudományt népszerűsítő tevékenységével mára közismert személyiséggé vált Nagy-Britanniában: rendszeresen ír olyan lapokba, mint a The Times és a The Guardian, tévé- és rádióműsorokban szerepel.

Nagy hangsúlyt fektet arra, hogy a gyakran bonyolult állításokat közérthetően magyarázza el. Egyik legfontosabb fegyvere a humor. A Seed magazinnak írt 2006-os cikkében például azt fejtette ki, hogy a Galaxis útikalauz stopposoknak című klasszikusban az élet értelmét firtató végső kérdésre adott válasz, azaz a 42 milyen összefüggésben van a Riemann-féle Zéta-függvénnyel. Több ismeretterjesztő könyv szerzője; az elsőt, az eredetileg tíz évvel ezelőtt megjelent A prímszámok zenéjé-t, amely a prímek kutatásának fordulatos történetét mutatja be a megszállott tudósok sorsán keresztül, magyarul éppen idén ősszel fogják kiadni. Ugyanakkor matematikusként is jelentős sikereket ért el. 2001-ben elnyerte a 40 évnél fiatalabb kutatók legjobb eredményéért kiosztott Berwick-díjat, és jelenleg ő a brit Matematikai Társaság elnöke. Kutatási területe a számelmélet és a csoportelmélet.

Marcus du Sautoy-jal a Közép-európai Egyetemen készítettünk interjút, ahol a Hay Fesztivál keretében tartott előadást, mielőtt Lovász Lászlóval beszélgetett.

Ön jelenleg az oxfordi Simonyi Károly Professzori ösztöndíj tulajdonosa. Mit tart a küldetésének?

Én úgy tekintek erre, mintha nagykövet lennék: a tudományos világ nagykövete. A tudomány sokak számára idegen terület, egy sziget, amely nyilván fontos, hiszen az életük és a környezetük számos vonatkozására kihatással van, de ahol nem igazodnak el. Egy ilyen idegen országnak szüksége van egy nagykövetre, akinek az a feladata, hogy hidakat építsen ki a külvilág felé, és közben megpróbálja elmagyarázni, hogy kik vagyunk, milyen nyelvet beszélünk, mit csinálunk, és mindez miért fontos mindenki más számára is. A tudomány által uralt korban élünk, egyre nagyobb a közvetlen befolyása a hétköznapjainkra, a meghozandó döntéseinkre - például arra, hogy milyen lépéseket teszünk a klímaváltozás vagy a hagyományos energiaforrások kiapadása miatt. Ezeknek meg kell érteni a tudományos hátterét, hogy értelmes vitát folytathassunk róluk.

Simonyi Károly már nagyon korán felismerte, hogy erre szükség van, hiszen amikor az 1990-es évek közepén megalapította ezt az ösztöndíjat, igazán még senki sem gondolkodott így. A tudomány akkoriban teljesen különálló építmény volt, a társadalom többi része attól függetlenül élte az életét. Ő azonban rájött, hogy kell valaki, aki kiépíti a hidakat a kettő között, és megérteti az emberekkel, hogy a tudósok tevékenysége milyen hatással lesz az életükre. Én ebben látom a saját szerepemet is. A tudomány nagyköveteként vagyok itt.

Ön is előszeretettel foglalkozik a prímszámok témájával, amely évezredek óta a matematikusok kedvencei közé tartozik. Hogyan lehet közérthetően elmagyarázni az utca emberének, hogy ebben mi az érdekes, és egyáltalán, miért fontosak a prímszámok?

A prímszámok olyanok, mint az atomok. Ahogy a kémiában megértettük, hogy a víz, amit iszunk, hidrogénből és oxigénből áll, vagy a só nem más, mint nátrium-klorid, látnunk kell, hogy a számok is ezekből az oszthatatlan egységekből épülnek fel. A 105 például nem más, mint 3-szor 5-ször 7. A prímektől eljutunk az összes számig, a számoktól pedig magáig a matematikáig, amely voltaképpen a tudomány nyelve. Bizonyos értelemben ezért annyira fontosak a prímek. Akár azt is mondhatnánk, hogy ezek a magok, amelyekből minden más kinő. Az utca embere számára is nagy jelentőségük van, hiszen a segítségükkel működik az internetes titkosítás. Amikor a bankkártyánkkal fizetünk a neten, az adataink a prímszámok tulajdonságainak köszönhetően maradnak biztonságban. Ezért a prímekkel kapcsolatos új kutatási eredmények minden vásárló életére kihathatnak. Ugyanakkor a számok közül a prímek jelentik a legnagyobb kihívást, mert gyakorlatilag egyáltalán nem értjük őket.

A CEU-n elsősorban a szimmetriákról tartott előadást, Bach zenéjétől eljutva a Rubik-kockáig Forrás: Farkas Péter [origo]

Azt ma már valószínűleg sokan tudják, hogy az internetes titkosítás a prímekre épül. Az RSA algoritmusról is hallhattak. Mi másra jók a prímek a hétköznapi életben?

Azt például kevesebben tudják, hogy az építészetben is kihasználják a prímszámokat. A koncerttermek jó akusztikájának biztosításához a prímek összeférhetetlenségére támaszkodnak, hogy ne keletkezzenek rezonanciák: az építészek a számok megfelelő kombinációja révén érik el, hogy zenehallgatás közben ne halljunk idegesítő zümmögést. A természetben is sok jelenség mögött a prímek állnak. Az Észak-Amerikában mostanság újra elképesztő tömegben kirajzó periodikus kabócák például 17 éve nem hallattak magukról, mert az életciklusuk, amely a prímszámok tulajdonságaira épül, a faj túlélése érdekében pont ilyen hosszú. A prímek a legkülönfélébb területeken bukkannak fel.

Mégis, a matematikailag kevésbé képzett embereknek egy olyan, viszonylag egyszerű állítást is nehéz érthetően elmagyarázni, mint amilyen a prímszámtételé. Egyáltalán, miért van erre szükség?

Egyrészt persze hozzáállhatunk úgy is, hogy az utca embere nyugodtan leélheti az egész életét a prímszámtétel ismerete nélkül. De valójában elmondhatjuk ugyanezt Shakespeare-ről is: azt sem létkérdés olvasni. Én úgy gondolom, hogy a nagy prímszámtétel egyike a shakespeare-i jelentőségű felfedezéseinknek. Ráadásul bárkivel meg is lehet értetni, hogy miről szól. Természetesen rá kell szánni némi időt a könyvre, hogy az ember beleszeressen a történetekbe, de elsőre Shakespeare-t olvasni vagy Beethovent hallgatni is elég kimerítő. Az árnyalatokat csak gyakorlattal lehet megkülönböztetni egymástól. Remélem, hogy a könyvemben olyan utazásra tudom vinni az embereket, amelynek során szívesen eljátszadoznak a számokkal.

Közben kiderül, hogy igen, a prímek egyre ritkulnak, de vajon mennyire? Hát számoljuk meg őket! Gauss pontosan így tett, felismerve, hogy egy meghatározott rendszer szerint ritkulnak, és a sejtésből, amit megfogalmazott, lett a prímszámtétel. A laikusok erről talán konkrétan soha nem hallanak, de az mindannyiunk életében fontos, hogy felismerjük a mintázatokat a körülöttünk kavargó káoszban. A prímszámtétel tökéletes példája annak, hogy valaki friss szemlélettel nézett rá egy látszólag kaotikus összevisszaságra, és észrevette benne a mintázatot.

Az üzenet az, hogy a tudomány az ilyesmiben igazán erős. Hasonló a helyzet az időjárással, amely teljesen kiszámíthatatlannak tűnik, pedig ha a megfelelő módon vizsgáljuk, megtaláljuk benne a rendszert, és ez segít megérteni a klímaváltozást is. Vagy például egy vírus terjedését is úgy térképezhetjük fel, hogy a látszólag különálló, véletlenszerű megbetegedések között felismerjük az összefüggést, és akár még az is kiderülhet róla, hogy a prímszámtételben megfogalmazotthoz hasonló mintázat szerint zajlik. A könyv történeteit olvasva új szemlélettel kezdünk nézni egy csomó olyan problémára, amit eddig esetleg nem tudtunk megoldani.

A prímszámtétel

Az először "a matematikusok királya", Carl-Friedrich Gauss által megsejtett, de csak 1896-ban Jacques Hadamard illetve tőle függetlenül Charles-Jean de La Vallée Poussin által bizonyított tétel a prímszámok eloszlását írja le. Azt tudjuk meg belőle, hogy 1 és x között hozzávetőlegesen hány prímszám van. Ha ezt π(x) jelöli, akkor a formális állítás szerint:

Másképpen szólva, π(x) "aszimptotikusan egyenlő" x/ln(x)-szel (ahol ln(x) nem más, mint x természetes alapú logaritmusa).

Ha a magyarázat kedvéért nagyon le akarjuk egyszerűsíteni, a prímszámtétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy nagy x-ek esetében "1 és x között átlagosan kb. minden ln(x)-edik szám prím". Hogy pontosan mennyi, arról azonban nem ad információt, és arról sem, hogy melyek ezek a prímszámok. 1 és egymillió között például valójában 78 498 darab prímszám van, míg az x/ln(x) becslés szerint csak 72 382; bár ez az eltérés nagynak tűnhet, a két érték közötti szorzó csupán 1,084, és ahogy x-et növeljük, mind jobban megközelíti az 1-et. Ezt mondja ki a fenti képlet.

A könyv címe A prímszámok zenéje. Miért zene?

Ennek számos oka van. Egyfelől a matematika és a zene között szoros a kapcsolat. Én például trombitán játszom, és imádom a zenét, matekozás közben is sokat hallgatom. Mindkettő nagyon absztrakt: a zenét sem fordítjuk le szavakra, hiszen az egy olyan világ, amely önállóan is létezik. Ugyanakkor azért is választottam ezt a címet, mert a prímszámokat kicsit olyannak látom, mint a hangjegyeket. A különálló hangjegyek önmagukban nem alkotnak zenét, az a kombinációjukból áll össze. A prímszámtétel számomra azt mondja, hogy ha a hangjegyek összességét nézzük, felfedezünk benne egy mintázatot, amely bizonyos értelemben már zene. Erről szól a könyv. A prímszámok hangját előre talán véletlenszerű zajnak halljuk, de vajon nem tudjuk úgy hallgatni, hogy hirtelen kitűnjön belőle a minta, és zenévé álljon össze?

Éppen a múlt héten derült ki, hogy egy kínai matematikusnak, Jitang Csangnak sikerült igazolnia: végtelen sok egymástól legfeljebb 70 milliós távolságra lévő prímpár létezik. Mekkora ennek a jelentősége, és mennyivel visz minket közelebb a híres ikerprím-sejtés bizonyításához?

Ezt rendkívül jelentős eredménynek tartom. Egy matematikus számára a 70 millió bizonyos értelemben még mindig nagyon kicsi szám, hiszen a problémát a végtelen tükrében vizsgáljuk. Maga a tény, hogy a prímek egymáshoz közeli párokban is követik egymást, fontos. A 70 millió soknak tűnik, messze van a 2-től, de az a lényeg, hogy már egy konkrét érték. Ennek a prímek szempontjából filozófiai jelentősége van. Most az lesz a feladat, hogy megpróbáljuk csökkenteni ezt a számot valahogy.

Nézzünk rá a könyv borítójára! Itt van a 17 és a 19, a 41 és a 43, vagy a 71 és a 73… Borzasztóan izgalmas, hogy bár a prímek a prímszámtétel szerint egyre ritkábbá válnak, néha mégis felbukkannak párokban is. Nem tudom, hogy a tételt mennyire lehet erősíteni, de a prímszámokkal kapcsolatos minden új eredmény fontos, mert az egyik legnehezebb témáról van szó.

Az ikerprím-sejtés

Az ikerprím-sejtés a matematika egyik legősibb, máig megoldatlan problémája, amit valószínűleg még Euklidész vetett fel több mint kétezer évvel ezelőtt. Azt mondja ki, hogy végtelen sok olyan szomszédos páratlan számból álló pár létezik, amelyeknek mindkét tagja prím. Ilyen például az 5-7, a 11-13, a 17-19, vagy a 29-31. Ez azért érdekes, mert a prímszámtétel szerint a szomszédos prímek közötti átlagos különbség egyre nő, de ha a sejtés igaz - márpedig minden jel erre utal -, bármilyen messze mehetünk a számegyenesen, lesznek egymáshoz a lehető legközelebb eső prímpárok is.

A Nature című folyóirat éppen májusban számolt be róla, hogy egy Jitang Csang nevű kínai matematikusnak sikerült igazolnia egy, az ikerprím-sejtésnél gyengébb, de ahhoz a lényegét tekintve hasonló tételt. Eszerint végtelen sok olyan prímpár létezik, amelyek különbsége legfeljebb 70 millió (úgy is mondhatnánk, hogy ha egy 70 millió széles intervallumot elkezdünk tologatni a számegyenesen, bármilyen messzire megyünk, lesz olyan, hogy legalább két prímszám esik bele). Ezt az értéket kellene 2-re csökkenteni ahhoz, hogy az ikerprím-sejtés bizonyítást nyerjen. Bár a 70 millió ijesztően nagy számnak tűnik, komoly áttörést jelent, hogy az állítást valamilyen véges intervallumra igazolni tudták. 2005-ben egy magyar matematikus, Pintz János két társával, Daniel Alan Goldstonnal és Cem Yıldırımmel közösen 70 millió helyett már 16-ra is bizonyította ugyanezt, csak éppen felhasználtak hozzá egy másik, eddig szintén bizonyítatlan sejtést.

A számítógépek fejlődése mennyiben változtatta meg a kutatási módszereinket?

Kétségkívül lehetővé tettek olyan kutatásokat, amelyeket korábban nem tudtunk volna elvégezni. A Riemann-hipotézist például a Zéta-függvény rengeteg zérushelyére leellenőrizhettük a segítségükkel. Ennek ellenére nem hiszem, hogy a számítógépek képesek helyettesíteni az emberi elme kreativitását. Amikor a végtelenről beszélünk, márpedig prímszámból végtelen sok van, látnunk kell, hogy a számítógép a lelke mélyén egy véges eszköz. Egyelőre a kreativitás és a képzelőerő is hiányzik belőle, holott a matematikához ezekre van szükség. Éppen ezért úgy érzem, hogy a számítógép jó partner, amellyel sok kísérletet elvégezhetünk, s így segíthet rávezetni bizonyos dolgokra, de még nem elég erős ahhoz, hogy képet lehessen alkotni vele a végtelenről. Persze a mi agyunk is véges, a kreativitás és a képzelőerő terén azonban veri a számítógépet.

Említette, sőt a könyvben is foglalkozik a Riemann-hipotézissel, amely az egyik legfontosabb bizonyítatlan probléma. A néhai Erdős Pál a matematika koronagyémántjának nevezte. Az eredeti állítás azonban meglehetősen absztrakt, bonyolultabb például a már említett prímszámtételénél. El lehet magyarázni közérthetően, hogy minek ez a nagy felhajtás körülötte?

Hogyne. A könyvben pontosan erre törekedtem. Egyébként egyetértek: amikor először meséltem el a kollégáimnak, hogy a Riemann-hipotézisről akarok könyvet írni, gyakorlatilag kinevettek, mondván, az túl bonyolult ehhez. A könyv megírása bizonyos értelemben számomra is egy tanulási folyamat volt, mert hiába ismertem a sejtés erősen technikai jellegű állítását - miszerint a Riemann-féle Zéta-függvény összes nemtriviális gyökének valós része ½ -, én magam sem tudtam, hogy ez tulajdonképpen miért annyira fontos. A munka nekem is segített, hogy felismerjem a jelentőségét, hiszen úgy kellett megfogalmaznom, hogy az utca embere is megértse.

A prímszámtétel elárulja, hogy átlagosan mennyi prímszám van. A Riemann-hipotézis arról szól, hogy bár tudjuk, összesen hány gázmolekula van ebben a szobában, vajon hogyan oszlanak el? Lehet, hogy mind itt gyűlt össze, ezen a kis területen összezsúfolódva, és a másik sarokban vákuum van? A Riemann-hipotézis azt állítja, hogy a prímszámok véletlenszerűen oszlanak el - ha úgy tetszik, a szobában lévő molekulák elhelyezkedésének nincs megadott mintázata -, de igazságosan, mert átlagosan nagyjából ott bukkannak fel, ahol számítunk rájuk. Eszerint a prímszámok rendszerében nincsenek hirtelen vákuumok, ahol ne tudnánk levegőt venni. Nagyjából így magyarázható el, hogy mi a jelentősége ennek az erősen technikainak tűnő állításnak.

A Riemann-hipotézis

A Marcus de Sautoy által a matematika Wagnerének nevezett Bernhard Riemann felvetése a számelmélet legfontosabb problémái közé tartozik, de az úgynevezett Zéta-függvénynek, amelyről szól, a fizikában, a valószínűségszámításban és a statisztikában is komoly jelentősége van. Az első ránézésre absztrakt definíció szerint:

s eredetileg olyan komplex szám lehet, amelynek a valós része 1-nél nagyobb, de a Zéta-függvény minden komplex számra kiterjeszthető. Az értékét sok s-re ismerjük, tudjuk például, hogy

A Riemann-hipotézis ennek a függvénynek a gyökeiről - azokról az s-ekről, ahol az értéke nulla - állítja, hogy a triviális eseteket (a negatív páros számokat) leszámítva mindegyiknek ½ a valós része. A Zéta-függvény és a prímszámok között például Leonhard Euler felismerése teremt kapcsolatot, amely szerint:

Így tényleg sokkal emészthetőbben hangzik, de valószínűleg nem túlzás kijelenteni, hogy az iskolában a diákok zöme még mindig a matematikától tart a legjobban a tantárgyak közül. Vajon ez a félelem indokolt, mert a matek tényleg ennyire nehéz, vagy inkább csak rosszul tanítjuk, túl sokat foglalkozva a formalitásokkal, és nem eleget a mögöttük rejlő gondolatmenettel?

Abszolút egyetértek: szerintem sokkal jobban meg kellene erőltetnünk magunkat, hogy izgalmasabbá tegyük a matematikát a diákok számára. Ha csak a képletekre koncentrálunk, az kicsit olyan, mintha valakit úgy tanítanánk játszani egy hangszeren, hogy kizárólag a skálázást gyakoroltatjuk vele. Így nyilván megunja, és túl technikásnak meg nehéznek fogja érezni az egészet. Sokkal jobb, ha meghallgattatunk vele valamilyen zenét, amelyre felkapja a fejét, hogy jé, hát ez gyönyörű, ezt én is el szeretném játszani! A matematikában és úgy általában a tudományban többet kellene tennünk azért, hogy inspiráljuk az embereket. Felesleges tagadni, hogy a matematika bonyolult, de valójában ez is hozzátartozik a vonzerejéhez, hiszen ami túl könnyű, azt hamar megunjuk. Ha valami nehéz, viszont izgalmas, mert látjuk, hogy milyen hasznos, akkor szívesebben foglalkozunk vele. Szerintem az iskolában néha elfelejtjük inspirálni a tanulókat, megmutatva nekik, hogy miért érdemes erőfeszítéseket tenniük.

Van ennek egy lélektani vonatkozása is. A PhD-seimmel töltött időnek például csak a felét fordítom a matekozásra, a másik felében pszichológiailag igyekszem ösztönözni őket. Elvégre olyan áttöréseket próbálnak elérni, olyan problémákon dolgoznak, amelyeket korábban senkinek nem sikerült megoldania. Ez elég rémisztő. Nekem kell bátorítanom őket, hogy elhiggyék, ők képesek lesznek rá. A diákokkal is hasonló a helyzet. Tanítás közben gyakran megfélemlítjük a gyerekeket a túl nehéznek tűnő feladatokkal, pedig biztosítanunk kellene számukra a lehetőséget, hogy hibázzanak nyugodtan, csak tanuljanak belőle. Túl sokszor lehet hallani olyan tanárokról, akiktől félnek a tanulók. Ez egyszerűen nem segíti a tanulást.

Sokan azt állítják, hogy utálják a matematikát, és közben észre sem veszik, hogy valójában matekoznak, amikor kártyáznak, a kedvenc stratégiai játékukat játsszák, vagy egy tévés fejtörőn töprengenek…

Így van! Ugyanez érvényes a zenére. Rengeteg zenész hajtogatja, hogy viszolyog a matematikától, pedig mit csinál? Folyamatosan mintázatokat és szimmetriákat keres, ami tiszta matematika. Szerintem az emberek többségének egyszerűen fogalma sincs, hogy miről szól a matematika, és hogy mennyi mindenben játszik szerepet. Részben éppen az volt a célom ezekkel a könyvekkel, hogy megmutassam nekik: a matematika ott van mindenhol, ők maguk is használják minden nap. Kidolgoztam egy internetes mateksulit, amely 11-16 éves gyerekeknek játékok segítségével próbálja megtanítani a szükséges ismereteket: például csak az tud szintet lépni, aki ismeri a Pitagorasz-tételt, vagy meg képes oldani elsőfokú egyenleteket. Ez nagyon sikeresnek bizonyult. A gyerekek azért imádják, mert játszva tanulnak, a tanárok pedig azért, mert a diákok elsajátítják a tananyagot.

A prímszámok zenéje című könyv brosúrájának borítójára is ikerprím-párok kerültek Forrás: Farkas Péter [origo]

Habár az emberek általában nem látnak sok összefüggést a sportok és a matematika között, már régen feltűnt, hogy meglepően sok matematikus szeret focizni - köztük Ön is. Van ennek valami konkrét oka?

Igen, én magam is focizok, és rengeteg meccset nézek. Arsenal-szurkoló vagyok, és úgy érzem, az Arsenalra különösen igaz, hogy úgy játssza a meccseket, mintha sakkozna. A stratégiának óriási szerepe van. Hová helyezzük el a középpályásainkat, hogy olyan háromszögek jöjjenek létre a pályán, amelyek mentén keresztbe lehet mozgatni a labdát egészen a gólhelyzetig? De a futballnak vannak más érdekes matematikai vonatkozásai is. A labda a Galilei által leírt pályán, egy parabolaív mentén halad. A pörgése és a mögötte keletkező turbulencia fantasztikusan érdekes, és a mai napig nem értjük: a nagy megoldatlan problémáink közé tartozik.

Azt is láthatjuk, hogy a sportfelszerelések tervezéséhez rengeteg matematikai módszert vetnek be, mert a matematika rendkívül jól szolgálja a hatékonyságot. A kalkulus segítségével lehet megtalálni valamire a leghatékonyabb megoldást. Nagyon jól jön, ha például új focilabdát vagy úszódresszt tervezünk, a Forma-1-es autókról már nem is beszélve. A Forma-1-ben azok a csapatok nyernek, ahol a legjobb matematikusok dolgoznak, mert ők tudják, hogyan kell valamit igazán optimalizálni. Az istállók nagy részének éppen a mi környékünkön, Oxfordshire-ben van a bázisuk, hogy könnyen hozzáférjenek a legjobb tudósokhoz, akik minden téren segítenek maximalizálni az autójuk teljesítményét.

Matematikusok tehát szinte mindenhol vannak, a legtöbben mégis csodabogaraknak tartják őket. Vajon miért?

Hát, kicsit valóban szokatlan személyiség kell ahhoz, hogy valaki matematikával foglalkozzon, mert ez a tárgy elég komoly megszállottságot követel, ezért előnyben vannak azok, akik kedvelik a magányt. Ugyanakkor eredeti szemléletmód is kell hozzá, hiszen áttörést csak új kérdések megfogalmazása révén, új nézőpontokra bukkanva lehet elérni. Ezért sok matematikus kissé valóban csodabogár, de ez nem szükséges feltétel. Rengeteg teljesen normális ember is van közöttünk. Bár tény, hogy a könyvben leírt sztorik szereplői borzasztóan érdekes figurák, és általában szokatlan a személyiségük.