Blazic szlovéniai szülővárosában, Koperben kezdett futballozni.
A védő fiatalon felkeltette olyan angol klubok figyelmét, mint a Birmingham City és a Newcastle United, ám végül tinédzserként nem vágott bele a légióséletbe. Miközben végigjárta az utánpótlás válogatottakat, Blazic 2011 márciusában 17 évesen mutatkozott be az akkor szlovén bajnoki címvédő Koper felnőtt csapatában.
A védő pedig élt a lehetőséggel, és innentől kezdve idényről idényre a koperi védelem egyre fontosabb láncszeme volt.
Húszévesen már a csapatkapitányi karszalagot is megkapta egy Triglav elleni bajnokin.
Blazic utolsó koperi szezonjában, a 2014/15-ös idényben megnyerte együttesével a Szlovén Kupát, míg a bajnokságban a 2013/14-es ezüstérem volt a legjobbja nevelőegyesülete felnőtt csapatában.
2015-ben a Domzale szerezte meg a 185 cm magas védőt, aki nehéz első félév után beverekedte magát a kezdőcsapatba. A 2016/17-es idényben 28 bajnokin játszott a 36-ból, valamennyi alkalommal 90 percet.
Az idény végén pályafutása során másodszor is megnyerte a Szlovén Kupát.
Az idény kezdetén a Domzalével az Európa Liga selejtezőjében is menetelt a Ferencváros új védője.Az észt Flora, az izlandi Valur és a német Freiburg kiütése után a francia Marseille búcsúztatta Blazicékat. A Fradi új igazolása a négy párharc valamennyi játékpercét a pályán töltötte.
Blazic alapvetően középhátvéd, de védekező középpályásként és a védelem szélén is bevethető.