Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

"Nincs oly tünemény, ha mégannyira szabálytalannak látszik is, amelyet ne lehetne szabályba foglalni; a történet menete pedig nem egyéb, mint egy-egy szabály hallgatólagos felismerése."
(Márton László)

A modern matematika páratlanul sokszínű alakzatai az elliptikus görbék. Az ilyen görbe pontjain értelmezhető például egy művelet, ami sok tekintetben hasonlít a számok közötti összeadás műveletéhez. Egyebek között ez a művelet teszi lehetővé, hogy elliptikus görbéket alkalmazzunk rejtjelezésre az illetéktelen hozzáféréssel szemben biztonságos információcsere eszközeként. Az elliptikus görbék központi jelentőségűek a jelenkori matematikai kutatásokban. Velük foglalkozik Birch és Swinnerton-Dyer nevezetes sejtése, amelynek a megoldásáért 1 millió dolláros díjat tűzött ki egy amerikai alapítvány. Meglepő szerepet játszottak az egyik legismertebb és legrégebbi matematikai probléma, a Fermat-sejtés megoldásában is. A titkaink elrejtésén kívül tehát egy nagy rejtély megoldásához is közük van. Végül arról ejtünk szót, hogy miként segítettek M. C. Escher holland művész Képtár című titokzatos litográfiájának megértésében.

I. Az elliptikus görbe fogalma
Az egyenes és a kör mindenki számára ismerős, egyszerű és szemléletes geometriai alakzatok. Síkbeli Descartes-féle koordinátarendszerben ezek az alakzatok egyenlettel adhatók meg. Az egyenes egyenlete elsőfokú, a köré másodfokú. Az elliptikus görbék bizonyos értelemben a következő lépést jelentik. Az elliptikus görbék nem ellipszisek, de szerephez jutnak az ellipszis ívhosszának a számításában, innen nyerték a nevüket.

II. Művelet a görbe pontjain
A matematikában fontos szerepet játszanak a műveletek, mint például a számok körében az összeadás és a szorzás. Az elliptikus görbék sok szép tulajdonsága közül az egyik legfontosabb, hogy a görbe pontjain meg lehet adni egy olyan műveletet, amely sok tekintetben a számok összeadására emlékeztet.

III. Számolás maradékokkal
Amikor 20 óra helyett 8 órát mondunk, vagy arra gondolunk, hogy 10-kor még 3 óránk van 1-ig, akkor valójában az egész számok 12-vel való osztási maradékait használjuk. Értelmezhetjük két osztási maradék összegét, különbségét, szorzatát és bizonyos esetekben a hányadosát is.

IV. Véges görbék
Az osztási maradékokkal való számolás lehetőségével felvértezve az E elliptikus görbe segítségével bámulatosan érdekes, véges sok pontból álló E_p alakzat nyerhető, melyet szintén görbének (esetenként véges görbének) hívunk, annak ellenére, hogy csak véges számú pontból áll. Az E_p görbe pontjainak a száma kiemelkedően fontos mennyiség.

V. Egymillió dolláros kérdés: Birch és Swinnerton-Dyer sejtése
A kétváltozós egyenletek felelnek meg a görbéknek, mint amilyenek az egyenesek, a körök, vagy éppen az elliptikus görbék. A kétváltozós egyenletek világában meglepően egyszerűnek tűnő, ám mind ez ideig megválaszolatlan kérdésekkel is találkozhatunk. Ilyen a Birch és Swinnerton-Dyer-féle sejtés, melynek megoldásáért az amerikai Clay Matematikai Intézet 1 millió dolláros díjat tűzött ki.

VI. A Fermat-sejtés
Pierre de Fermat legendás sejtése a 17. században fogalmazódott meg, de 350 évig nem született meg a bizonyítása. Éppen ezért a 20. század kilencvenes éveinek közepén igazi világszenzáció volt, hogy Andrew Wiles brit matematikusnak sikerült bizonyítást találnia rá. Gondolatmenete jelentős mértékben támaszkodik az elliptikus görbék elméletére.

VII. Elliptikus rejtjelezés
A kriptográfusok olyan, egymással szoros kapcsolatban levő számítási feladatpárokat keresnek, amelyek közül az egyik könnyű abban az értelemben, hogy megfelelő számítógép segítségével gyorsan megoldható; ezzel szemben a másik nehéz: igen komoly számítási erőforrásokkal sem oldható meg hatékonyan. A könnyű feladat felel meg a rejtjelezésnek és a jogosult megfejtésnek, a nehéz feladat pedig a jogosulatlan kíváncsiskodó próbálkozásainak. Ilyen szerencsésen összeillő feladatpárt kaphatunk elliptikus görbék segítségével.

VIII. A Képtár
C. M. Escher holland grafikus és festőművész gazdag életművének fontos részét adják a látványparadoxonok és a geometriai mintázatok. E kettő együtt jelenik meg az 1956-ban készült Képtár című kőnyomatán. A képet hosszasabban szemlélve azt érezzük, hogy a görbülő vonalak kuszasága mögött valami rend húzódik meg. Itt is az elliptikus görbék jelentik a titok nyitját.

IX. Befejezésül
Galilei szerint a természet nagy könyve a matematika nyelvén van írva. Az elliptikus görbék igazi ékességei ennek a nyelvnek.

Tovább